点列コンパクト

今日のゼミで「ある集合の任意の点列に対して適当な部分列が存在してその集合に収束する」ことから、その集合は有界閉集合であると結論づけたところ、「ホントにそうなの？」と突っ込まれてしまい回答に窮してしまいました。後で教科書を確認してみたら、こういう集合って点列コンパクトと呼ぶらしいですね。で、点列コンパクトであることと有界閉集合であることは同値であることが示されており、結局正しかったようです。うむむ・・・論証できないあたりまだまだ修行が足りないっす。