直和分解と不変部分空間

今日も元気に朝マックです。

線形空間 V の 要素が V の部分空間 W1, W2 の要素の和として一意に表される時、V は W1 と W2 の直和であるという。V をいくつかの部分空間の直和に分解し、なおかつ個々の部分空間が V 上の線形変換 T によって不変である時、線形変換 T の表現行列は対角成分の近傍に成分が残り、それ以外の上三角および下三角の成分は 0 になることが証明される。そして、T の表現行列が最も簡単な形、すなわち対角行列になる時は、不変部分空間の次元が 1 次元の時である。この時に 1 次元不変部分空間の基底 が満たすべき式が、 である。これが、よく固有値問題で天下り的に出現する方程式であったのだ。

という基本的なことを今になって知り、一人マックで感動に浸っていたｗ勉強不足だなぁ。